在复变函数论中，复变函数的积分又称为复积分，是复变函数论的基础之一，它类似于多元积分中的第二型曲线积分。
目录
1 概念
2 性质
3 与第二型曲线积分的联系
4 环路积分
5 上下节
6 参考资料
概念[]
设在复平面内有一个可度量的有向曲线（不必连续）
C
:
z
(
t
)
,
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle C: z(t), t \in [a, b]}
，在其上定义了一个复变函数
f
(
z
)
,
∀
z
∈
C
.
{\displaystyle f(z), \forall z \in C.}
对
C
{\displaystyle C}
插入若干分点
z
(
t
i
)
,
i
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle z(t_i), i = 0,1,2,\cdots,n}
，其中
t
i
{\displaystyle t_i}
满足
a
=
t
0
<
t
1
<
t
2
<
⋯
<
t
n
−
1
<
t
n
=
b
{\displaystyle a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_{n-1} < t_n = b}
这样曲线就被分成了
n
{\displaystyle n}
个小弧段
z
i
−
1
z
i
⌢
{\displaystyle \overset{\frown}{z_{i-1}z_i}}
，该弧段上的复数改变量记作
Δ
z
i
=
z
i
−
z
i
−
1
{\displaystyle \Delta z_i = z_i - z_{i-1}}
，记号
|
|
Δ
|
|
=
max
1
⩽
i
⩽
n
|
Δ
z
i
|
{\displaystyle ||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |\Delta z_i|}
称为分割的模，在每个小弧段上取一个代表复数
z
i
∈
z
i
−
1
z
i
⌢
,
i
=
1
,
2
,
⋯
{\displaystyle z_i \in \overset{\frown}{z_{i-1}z_i}, i = 1,2,\cdots}
，作下述积分和式
∑
i
=
1
n
f
(
z
i
)
Δ
z
i
.
{\displaystyle \sum_{i=1}^n f(z_i) \Delta z_i.}
如果上述和式在
|
|
Δ
|
|
→
0
{\displaystyle ||\Delta|| \to 0}
时对任意的分割方法和任意的
z
i
∈
[
z
i
−
1
,
z
i
]
{\displaystyle z_i \in [z_{i-1}, z_i]}
都有唯一的有限值，我们就说函数
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
在
C
{\displaystyle C}
上可积，积分和式的极限叫作
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
在
C
{\displaystyle C}
上的积分，记作
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
lim
|
|
Δ
|
|
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
z
i
)
Δ
z
i
.
{\displaystyle \int_\mathit{C} f(z) \mathrm{d}z = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(z_i) \Delta z_i.}
C
{\displaystyle C}
称为积分路径。
性质[]
这样定义的复变函数的积分有下述性质：
积分对积分路径的方向性：
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
−
∫
C
−
f
(
z
)
d
z
.
{\displaystyle \int_C f(z) \mathrm{d}z = -\int_{C^-} f(z) \mathrm{d}z.}
积分对被积函数的线性性：
∫
C
[
a
f
(
z
)
+
b
g
(
z
)
]
d
z
=
a
∫
C
f
(
z
)
d
z
+
b
∫
C
g
(
z
)
d
z
,
a
,
b
∈
C
.
{\displaystyle \int_C [af(z)+bg(z)] \mathrm{d}z = a\int_C f(z) \mathrm{d}z + b\int_C g(z) \mathrm{d}z, \quad a, b \in \C.}
积分对积分路径的可加性（进而可以推出有限可加性）：
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
C
1
f
(
z
)
d
z
+
∫
C
2
f
(
z
)
d
z
,
C
=
C
1
+
C
2
.
{\displaystyle \int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_{C_1} f(z) \mathrm{d}z + \int_{C_2} f(z) \mathrm{d}z, \quad C = C_1 + C_2.}
复积分的控制不等式：
|
∫
C
f
(
z
)
d
z
|
⩽
∫
C
|
f
(
z
)
|
d
s
⩽
M
L
.
{\displaystyle \left| \int_C f(z) \mathrm{d}z \right| \leqslant \int_C |f(z)| \mathrm{d}s \leqslant ML.}
其中，
M
=
sup
z
∈
C
|
f
(
z
)
|
{\displaystyle M = \sup_{z \in C} |f(z)|}
，
L
{\displaystyle L}
是曲线
C
{\displaystyle C}
的弧长。
d
s
=
|
d
z
|
{\displaystyle \mathrm{d}s = |\mathrm{d}z|}
是弧微分，中间的式子是一个第一型曲线积分。
与第二型曲线积分的联系[]
如果
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
,
z
=
x
+
i
y
,
x
,
y
∈
R
{\displaystyle f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y), z = x + \text{i}y, x, y \in \R}
沿
C
{\displaystyle C}
连续且
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
可积，那么有公式
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
C
u
d
x
−
v
d
y
+
i
∫
C
v
d
x
+
u
d
y
.
{\displaystyle \int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_C u\mathrm{d}x - v\mathrm{d}y + \text{i} \int_C v \mathrm{d}x + u \mathrm{d}y.}
进一步，如果
C
:
z
=
z
(
t
)
,
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle C: z = z(t), t \in [a, b]}
是光滑的有向曲线，那么还有
∫
C
f
(
z
)
d
z
=
∫
a
b
f
(
z
(
t
)
)
z
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_a^b f(z(t)) z'(t) \mathrm{d}t.}
上式右端是一个可以取到复数的 Riemann 积分。
环路积分[]
如果
C
{\displaystyle C}
是一个简单闭曲线，它或者连续，或者逐段连续，那么可以定义环路积分
∮
C
f
(
z
)
d
z
{\displaystyle \oint_C f(z) \mathrm{d}z}
积分路径的起点和终点相同，可以选择
C
{\displaystyle C}
上任意一点，它的方向规定为闭曲线的方向，即当沿着曲线行进时，曲线内部始终在观察者的左侧。
一个重要的环路积分是
∮
C
d
z
(
z
−
z
0
)
n
+
1
=
{
2
π
i
,
n
=
0
,
0
,
n
∈
Z
−
{
0
}
.
{\displaystyle \oint_C \dfrac{\mathrm{d}z}{(z - z_0)^{n+1}} = \begin{cases}
2\pi\text{i}, & n = 0, \\
0, & n \in \Z - \{0\}.
\end{cases}}
其中，
C
{\displaystyle C}
是以
z
0
{\displaystyle z_0}
为圆心，任意正数长度为半径的圆周。这一积分在后续的很多场合中有重要的应用。
上下节[]
上一节：多值函数
下一节：Cauchy 积分定理
参考资料钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.
单复变函数论（学科代码：1104120，GB/T 13745—2009）
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复平面 ▪ 复数列 ▪ 棣莫弗公式 ▪ 复球面 ▪ 欧拉公式 ▪ 复几何
复变函数以及微分理论
复变函数的极限 ▪ 复变函数的连续性 ▪ 复变函数的导数 ▪ 解析函数 ▪ 复指数函数 ▪ 复三角函数 ▪ 复双曲函数 ▪ 复指数系函数的几何形态 ▪ 多值函数 ▪ 辐角函数 ▪ 复对数函数 ▪ 复根式函数 ▪ 复幂以及一般幂函数 ▪ 复反三角函数
复变函数的积分理论
复变函数的积分 ▪ Cauchy 积分定理 ▪ 复变函数的不定积分 ▪ Cauchy 积分公式 ▪ Liouville 定理 ▪ Cauchy 型积分
复变函数的级数理论
复数项级数 ▪ 复函数项级数、复幂级数 ▪ 解析函数的泰勒展式 ▪ 解析函数的零点性质 ▪ 解析函数的洛朗展式 ▪ 解析函数的孤立奇点 ▪ 解析函数的无穷远点性质 ▪ 留数理论 ▪ 留数的应用 ▪ 对数留数
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